Soal dan Pembahasan - Fungsi Kuadrat — Mathcyber1997 (2024)

Syarat suatu fungsi kuadrat definit negatif (selalu bernilai negatif berapapun nilai $x$) adalah koefisien $x^2$ bernilai negatif dan diskriminannya juga bernilai negatif.
Syarat koefisien $x^2$ negatif:
$a + 1 < 0 \Leftrightarrow a <-1.$
Syarat diskriminan negatif:
$\begin{aligned} (-2a)^2-4(a+1)(a-2) & < 0 \\ 4a^2-(4a^2-4a-8) & < 0 \\ 4a + 8 & < 0 \\ a & <-2 \end{aligned}$
Irisan dari $a <-1$ dan $a <-2$ dapat ditentukan dengan menggunakan bantuan garis bilangan seperti gambar.Jadi, nilai $a$ yang memenuhi adalah $\boxed{a<-2}$
(Jawaban D)

[collapse]

Diketahui $f(x)=y=ax^2+6x+a.$
Akan ditentukan nilai $a$ terlebih dahulu dengan menggunakan persamaan sumbu simetri.
$\begin{aligned} x_p & = 3 \\-\dfrac{\text{Koef.}~x}{2 \cdot \text{Koef.}~x^2} & = 3 \\-\dfrac{6}{2a} & = 3 \\-6 & = 6a \\ a & =-1 \end{aligned}$
Jadi, $f(x)=-x^2+6x-1.$
Substitusikan $x=3$ untuk mendapatkan nilai maksimum fungsi.
$f(3) =y_p =-(3)^2+6(3)-1 = 8.$
Jadi, nilai maksimum fungsi tersebut adalah $\boxed{8}$
(Jawaban B)

[collapse]

Dari gambar, parabola tersebut tampak memiliki puncak di $(x_p, y_p) = (2, 4).$
Dengan demikian, fungsi kuadratnya akan berbentuk
$\begin{aligned} & f(x) = a(x-x_p)^2+y_p \\ & \Rightarrow f(x) = a(x-2)^2+4. \end{aligned}$
Apabila parabola terbuka ke atas (seperti huruf U), maka nilai $a > 0$, begitu sebaliknya.
Dari gambar, parabola terbuka ke bawah (seperti huruf n) sehingga $a < 0$.
(Jawaban D)

[collapse]

Rumus fungsi kuadrat bila berpuncak di $(x_p, y_p)$ dan melalui titik $(x, y)$ diberikan oleh$y- y_p = a(x-x_p)^2.$
Diketahui $x_p =-2, y_p=-1, x=0$, dan $y=-5$ sehingga didapat
$\begin{aligned}-5-(-1) & = a(0-(-2))^2 \\-4 & = a(2)^2 \\ a & =-1. \end{aligned}$
Untuk itu, rumus fungsi kuadratnya menjadi
$\begin{aligned} y & = a(x-x_p)^2 + y_p \\ \Rightarrow y & =-(x+2)^2 + 1. \end{aligned}$
Untuk $x = 2$, diperoleh
$\boxed{\begin{aligned} f(2) = y & =-(2+2)^2-5 \\ & =-4^2+1=-17 \end{aligned}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Diketahui $f(x) =-2x^2+4x+3$.
Absis grafik dari fungsi kuadrat itu adalah
$x_p =-\dfrac{b}{2a} =-\dfrac{4}{2(-2)} = 1.$
Karena koefisien $x^2$ bernilai negatif, maka parabola akan terbuka ke bawah. Di titik $x=1$, nilai maksimum fungsi akan tercapai, yaitu
$\begin{aligned} f(1) & =-2(1)^2 + 4(1) + 3 \\ &=-2+4+3=5. \end{aligned}$
Nilai minimum fungsi pada interval $-2 \leq x \leq 3$ tercapai pada nilai $x$ yang paling jauh jaraknya dari $x=1$, yaitu $x =-2$ sehingga
$\begin{aligned} f(-2) & =-2(-2)^2 + 4(-2) + 3 \\ & =-8- 8 +3=-13. \end{aligned}$
Dengan demikian, daerah hasil fungsi $f$ adalah $\boxed{\{y~|-13 \leq y \leq 5, y \in \mathbb{R}\}}$
(Jawaban E)

[collapse]

Koordinat titik balik dari grafik $f(x)=x^2+4x+3$ adalah
$\begin{aligned} x_p & =-\dfrac{b}{2a} =-\dfrac{4}{2(1)} =-2 \\ y_p & = (-2)^2+4(-2) + 3 =-1. \end{aligned}$
Jadi, koordinat titik baliknya adalah $(-2,-1)$.
Rumus fungsi kuadrat bila berpuncak di $(x_p, y_p)$ dan melalui titik $(x, y)$ diberikan oleh $y- y_p = a(x-x_p)^2.$
Diketahui $x_p =-2, y_p=-1, x=-1$, dan $y=3$ sehingga didapat
$\begin{aligned} 3-(-1) & = a(-1-(-2))^2 \\ 4 & = a(1)^2 \\ a & = 4. \end{aligned}$
Substitusi balik $x_p =-2, y_p=-1, a = 4$ sehingga didapat
$\begin{aligned} y-(-1) & = 4(x-(-2))^2 \\ y + 1 & = 4(x^2+4x+4) \\ y & = 4x^2+16x +15. \end{aligned}$
Jadi, rumus fungsi kuadratnya adalah $\boxed{f(x)=y=4x^2+16x+15}$
(Jawaban C)

[collapse]

Diketahui $f(x)=2-x-x^2$.
Cek opsi A:
Tampak bahwa grafik memotong sumbu $X$ di dua titik, yaitu $(-2, 0)$ dan $(1, 0)$.
Untuk memastikan, kita periksa nilai determinannya.
$\begin{aligned} D & = b^2-4ac \\ & = (-1)^2-4(-1)(2) \\ & = 1+8 = 9 \end{aligned}$
Karena $D$ bertanda positif, maka grafik fungsi memotong sumbu $X$ di dua titik (memiliki dua akar real berlainan).
Jadi, pernyataan pada opsi A benar.
Cek Opsi B:
Persamaan sumbu simetri fungsi $f(x)$ ditentukan oleh rumus $x = -\dfrac{b}{2a}$, yaitu$x = -\dfrac{-1}{2(-1)} = \color{blue}{-\dfrac12}.$
Jadi, pernyataan pada opsi B benar.
Cek Opsi C:
Tampak pada gambar bahwa parabola terbuka ke bawah sehingga tidak memiliki nilai minimum.
Pernyataan pada opsi C salah.
Cek Opsi D:
Nilai maksimum fungsi $f(x)$ dapat ditentukan dengan beberapa cara. Salah satunya adalah dengan mensubstitusikan $\color{blue}{x = -\dfrac12}$ pada rumus fungsinya.
$\begin{aligned} f(x) & = 2-x-x^2 \\ f\left(-\dfrac12\right) & = 2-\left(-\dfrac12\right)-\left(-\dfrac12\right)^2 \\ & = 2+\dfrac12-\dfrac14 \\ & = \dfrac94 \end{aligned}$
Pernyataan pada opsi D benar.
Cek Opsi E:
Titik potong grafik terhadap sumbu $Y$ tercapai ketika $x = 0$.
$\begin{aligned} f(x) & = 2-x-x^2 \\ f(0) & = 2-0-0^2 = 2 \end{aligned}$
Jadi, koordinat titik potongnya adalah $(0, 2)$.
Pernyataan pada opsi E benar.
(Jawaban C)

[collapse]

Pergeseran grafik fungsi kuadrat (parabola) hanya perlu kita pandang sebagai pergeseran satu titik tetap, misalkan titik baliknya.
Jelas bahwa koordinat titik balik grafik $f(x)=x^2$ adalah $(0, 0)$.
Koordinat titik balik grafik $f(x)=x^2-6x+7$ adalah
$\begin{aligned} x_p & =-\dfrac{b}{2a} =-\dfrac{-6}{2(1)} = 3 \\ y_p & = (3)^2-6(3)+7 =-2, \end{aligned}$
yakni di $(3,-2).$
Dengan demikian, pergeseran grafik $f(x)=x^2-6x+7$ diperoleh dengan cara menggeser grafik $f(x)=x^2$ ke arah kanan sumbu $X$ sejauh $3$ satuan dan ke arah bawah sumbu $Y$ sejauh $2$ satuan (jika bertanda negatif, pergeserannya ke arah bawah).
(Jawaban C)

[collapse]

Karena $f(x)=ax^2+(2a+6)x+2a-2$ menyinggung sumbu $X$, diskriminannya harus bernilai $0.$
$\begin{aligned} D & = 0 \\ b^2-4ac & = 0 \\ (2a+6)^2-4a(2a-2) & = 0 \\ (4a^2+24a+36)-8a^2+8a & = 0 \\-4a^2+32a+36 & = 0 \\ a^2-8a-9 & = 0 \\ (a-9)(a+1) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $a=9$ atau $a=-1.$
Karena titik baliknya maksimum, maka haruslah $a<0$ (parabola terbuka ke bawah) sehingga nilai $a$ yang diambil adalah $a=-1.$ Substitusikan pada $f(x)=ax^2+(2a+6)x+2a-2$ sehingga diperoleh $f(x)=-x^2+4x-4.$
Absis titik baliknya adalah
$x_p =-\dfrac{\text{Koef.}~x}{2 \cdot \text{Koef.}~x^2} =-\dfrac{4}{2(-1)} = 2.$
Karena grafik menyinggung sumbu $X,$ maka $y_p = 0.$
Jadi, koordinat titik balik maksimumnya adalah $\boxed{(x_p, y_p) = (2, 0)}$
(Jawaban C)

[collapse]

Substitusikan $f(x) = y = x^2+x+p$ ke persamaan $3x+y=1$ sehingga diperoleh
$\begin{aligned} 3x+(x^2+x+p) & = 1 \\ x^2+4x+(p-1) & = 0. \end{aligned}$
Karena grafik fungsi kuadrat (parabola) dan garisnya bersinggungan, maka diskriminan dari persamaan kuadrat di atas bernilai $0$.
$\begin{aligned} D & = b^2-4ac = 0 \\ (4)^2-4(1)(p-1) & = 0 \\ 16-4p + 4 & = 0 \\ 4p & = 20 \\ p & = 5 \end{aligned}$
Jadi, nilai $p$ adalah $\boxed{5}$
(Jawaban A)

[collapse]

Kurva $f(x)=y = x^2+bx+4$ dan $y=3x+4$ bersinggungan (berpotongan di satu titik) sehingga berlaku persamaan
$\begin{aligned} x^2+bx+4 & = 3x+4 \\ x^2 + (b-3)x & = 0. \end{aligned}$
Karena kedua kurva bersinggungan, maka haruslah diskriminan dari persamaan kuadrat di atas bernilai $0.$
$\begin{aligned} D & = 0 \\ b^2-4ac & = 0 \\ (b-3)^2-4(1)(0) &= 0 \\ (b-3)^2 &=0 \\ b & = 3 \end{aligned}$
Jadi, nilai $b$ yang memenuhi adalah $\boxed{b=3}$
(Jawaban D)

[collapse]

Fungsi kuadrat $f(x)=ax^2-(2a-4)x+(a+4)$ akan bernilai positif (grafiknya selalu berada di atas sumbu $X$) apabila koefisien $x^2$ bernilai positif, sedangkan diskriminan $D$ bernilai negatif.
Karena koefisien $x^2$ harus bernilai positif, maka $a > 0$.
$\begin{aligned} D & < 0 \\ b^2-4ac & < 0 \\ (-(2a-4))^2- 4a(a+4) & < 0 \\ (4a^2-16a+16)-4a^2-16a & < 0 \\-32a + 16 &<0 \\-32a & <-16 \\ a & > \dfrac12 \end{aligned}$
Jadi, nilai $a$ yang memenuhi adalah $\boxed{a>\dfrac12}$
(Jawaban D)

[collapse]

Catatan:
Misalkan fungsi kuadratnya berbentuk $f(x)= ax^2+bx+c.$

1. Bila parabola tidak memotong atau tidak menyinggung sumbu $X$, maka dikatakan bahwa:
   a) parabola di atas sumbu $X$ bila $D<0$ dan $a>0.$
   b) parabola di atas sumbu $X$ bila $D<0$ dan $a<0.$
   
2. Parabola memotong sumbu $X$ di dua titik berbeda, berarti $D>0.$
3. Parabola memotong sumbu $X$ hanya di satu titik, berarti $D=0.$

Karena grafik $f(x) = mx^2 + (2m-1)x + m+3$ berada di atas sumbu $X$, berarti diskriminan bernilai kurang dari 0 dan koefisien $x^2$ bernilai lebih dari $0$.
Dalam kasus ini, syarat $a>0$ adalah$m > 0$dan syarat diskriminan:
$\begin{aligned} D & < 0 \\ b^2-4ac & < 0 \\ (2m-1)^2-4m(m+3) & < 0 \\ (4m^2-4m+1)-4m^2-12m & < 0 \\-16m + 1 & < 0 \\-16m & <-1 \\ m & > \dfrac{1}{16} \end{aligned}$
Dengan demikian,
$$\{m : m > 0\} \cap \left\{m : m > \dfrac{1}{16}\right\} = \left\{m : m > \dfrac{1}{16}\right\}$$(Jawaban E)

[collapse]

Grafik fungsi $f(x) = (p+6)x^2 + px + 2$ memotong sumbu $X$ di dua titik di sebelah kanan $O(0,0)$ memiliki arti bahwa dua akar persamaan kuadratnya bernilai positif. Misalkan dua akar itu adalah $x_1$ dan $x_2.$

1. Jumlah akarnya pasti juga positif sehingga
   $$\begin{aligned} x_1 + x_2 & > 0 \\-\dfrac{b}{a} & > 0 \\-\dfrac{p}{p+6} & > 0 \\ \dfrac{p}{p+6} & < 0. \end{aligned}$$Dari sini, diperoleh $-6 < p < 0.$
2. Selain itu, hasil kali kedua akarnya juga harus positif. Oleh karena itu, diperoleh
   $$\begin{aligned} x_1x_2 & > 0 \\ \dfrac{c}{a} & > 0 \\ \dfrac{2}{p+6} & > 0 \\ p + 6 & > 0 \\ p & >-6. \end{aligned}$$
3. Karena fungsi kuadrat tersebut memiliki dua akar berbeda, haruslah diskriminannya bernilai positif.
   $$\begin{aligned} D & > 0 \\ p^2-4(p+6)(2) & > 0 \\ p^2-8p-48 & > 0 \\ (p-12)(p+4) & > 0 \end{aligned}$$Jadi, didapat $p < -4$ atau $p > 12.$

Irisan dari ketiga selang di atas adalah $\boxed{-6 < p < -4}$
(Jawaban E)

[collapse]

Substitusikan $(0, 5)$ pada fungsi kuadrat untuk menentukan nilai $a$.
$\begin{aligned} y & =ax^2+6x+(a+4) \\ 5 & = a(0)^2 + 6(0) + (a+4) \\ 5 & = a + 4 \\ a & = 1 \end{aligned}$
Dengan demikian, rumus fungsi kuadratnya adalah $y = x^2 + 6x + 5$ dengan $a=1, b=6, c=5.$
Sumbu simetri (absis titik balik):
$x_p =-\dfrac{b}{2a} =-\dfrac{6}{2(1)} =-3.$
Substitusikan ke $y = x^2+6x+5$ untuk memperoleh
$\begin{aligned} y_p & = (-3)^2+6(-3)+5 \\ & = 9-18+5 =-4 \end{aligned}$
ATAU
nilai balik minimum dicari dengan menggunakan rumus langsung, yakni
$\begin{aligned} y_p & =-\dfrac{b^2-4ac}{4a} \\ & =-\dfrac{(6)^2-4(1)(5)}{4(1)} \\ & =-\dfrac{36-20}{4} =-4. \end{aligned}$
Jadi, nilai balik minimum fungsi kuadrat itu adalah $\boxed{-4}$
Catatan: Parabola terbuka ke atas (seperti huruf U) karena $a > 0$ sehingga hanya ada nilai balik minimum, tidak ada maksimum.
(Jawaban A)

[collapse]

Secara aljabar, kasus di atas dapat dimisalkan sebagai suatu persamaan kuadrat yang memiliki akar $x_1 = \dfrac12$ dan $x_2 = 1$ sehingga ditulis
$\begin{aligned} \left(x-\dfrac12\right)(x-1) & = 0 \\ x^2-\dfrac32x + \dfrac12 & = 0 \\ \text{Kalikan kedua ruas dengan}~&-2 \\-2x^2 + 3x-1 & = 0. \end{aligned}$
Bandingkan dengan rumus fungsi $y = ax^2+bx-1.$
Dari sini, diperoleh $a=-2$ dan $b=3$.
Karena koefisien $x^2$, yaitu $a$, bernilai negatif, maka parabola (grafik fungsi) akan terbuka ke bawah sehingga nilai ekstremnya maksimum, yaitu
$\begin{aligned} y_p & =-\dfrac{D}{4a} \\ & =-\dfrac{b^2-4ac}{4a} \\ & =-\dfrac{3^2-4(-2)(-1)}{4(-2)} \\ & =-\dfrac{9-8}{-8} = \dfrac18 \end{aligned}$
Jadi, nilai ekstrem fungsi tersebut adalah $\boxed{\text{maksimum}~\dfrac18}$
(Jawaban C)

[collapse]

Karena titik $P(-3, 5)$ terletak pada grafik fungsi $f(x) = y$, maka substitusikan $x =-3$ dan $y = 5$ sehingga diperoleh
$5 = p(-3-q)^2+r~~~~(\cdots~1)$
Begitu juga dengan titik $Q(7,5)$. Substitusikan $x = 7$ dan $y=5$ sehingga diperoleh
$5 = p(7-q)^2+r~~~~(\cdots~2)$
Eliminasi $r$ dari kedua persamaan di atas sehingga didapat
$$\begin{aligned} 0 & = p(-3-q)^2- p(7-q)^2 \\ \text{Bagi}&~\text{kedua ruas dengan}~p \\ 0 & = (-3-q)^2-(7-q)^2 \\ 0 & = \color{red}{(-3-q+7-q)(-3-q-7+q)} \\ 0 & = (-2q+4)(-10) \\-2q + 4 & = 0 \\ q &= 2. \end{aligned}$$Catatan: (bagian yang ditanda merah) gunakan sifat pemfaktoran $a^2-b^2=(a+b)(a-b).$
Jadi, nilai $q$ adalah $\boxed{2}$
(Jawaban B)

[collapse]

Diketahui $f(x)=x^2+2px+p$
Sumbu simetri:
$x =-\dfrac{b}{2a} =-\dfrac{2p}{2(1)} =-p.$
Substitusi $x =-p$ pada $f(x)$ mengakibatkan tercapainya nilai minimum fungsi, yaitu $f(-p)=y_p=-p$ sehingga
$\begin{aligned} f(x) & = x^2+2px+p \\-p & = (-p)^2 + 2p(-p) + p \\-p & = p^2-2p^2+p \\ 0 & =-p^2+2p \\ 0 & = p(-p +2) \end{aligned}$
Diperoleh $p = 0$ atau $p = 2.$
Karena diberikan bahwa $p \neq 0$ (pada soal), maka diambil $p=2$ sehingga $f(x)=x^2+4x+2.$
Sumbu simetrinya adalah
$x =-\dfrac{4}{2(1)} =-2 = a.$
Dengan demikian,
$$\begin{aligned} a + f(a) & =-2 + ((-2)^2+4(-2)+2) \\ & =-2 + (4-8+2) =-4\end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{a+f(a)=-2+(-2)=-4}$
(Jawaban C)

[collapse]

Secara geometris, grafik fungsi kuadrat itu memiliki titik balik minimum di $(1, 2)$ dan melalui titik $(2, 3)$.
Fungsi kuadrat yang memiliki titik balik di $(x_p, y_p)$ dan melalui titik $(x, y)$ dirumuskan oleh
$\boxed{y- y_p = a(x- x_p)^2}$
Dengan demikian, substitusi $x_p = 1, y_p = 2, x = 2, y = 3$ menghasilkan
$3- 2 = a(2- 1)^2 \Leftrightarrow a = 1.$
Substitusi $a = 1, x_p = 1, y_p=2$ menghasilkan
$\begin{aligned} y- 2 & = 1(x-1)^2 \\ y & = (x^2-2x+1)+2 \\ y & = x^2-2x+3 \end{aligned}$
Jadi, fungsi kuadrat yang dimaksud adalah $\boxed{f(x)=x^2-2x+3}$
(Jawaban B)

[collapse]

Secara geometris, grafik fungsi kuadrat itu memiliki titik balik di $(2,-3)$ dan melalui titik $(-2,-11).$
Fungsi kuadrat yang memiliki titik balik di $(x_p, y_p)$ dan melalui titik $(x, y)$ dirumuskan oleh
$\boxed{y- y_p = a(x- x_p)^2}$
Dengan demikian, substitusi $x_p = 2, y_p =-3, x =-2, y =-11$ menghasilkan
$\begin{aligned}-11-(-3) & = a(-2-2)^2 \\-11 + 3 & = a(-4)^2 \\-8 & = 16a \\ a &=-\dfrac12 \end{aligned}$
Substitusi $a =-\dfrac12, x_p = 2, y_p=-3$ menghasilkan
$\begin{aligned} y-(-3) & =-\dfrac12(x-2)^2 \\ y & =-\dfrac12(x^2-4x+4)-3 \\ y & =-\dfrac12x^2+2x-5. \end{aligned}$
Jadi, fungsi kuadrat yang dimaksud adalah $\boxed{f(x)=-\dfrac12x^2+2x-5}$
(Jawaban E)

[collapse]

Secara aljabar, titik $(1, 0)$ dan $(3,0)$ merupakan akar dari persamaan kuadrat yang bersesuaian dengan $f(x)$ sehingga dapat ditulis$f(x)=a(x-1)(x-3)$ untuk suatu $a \neq 0$
yang selanjutnya dapat dinyatakan sebagai$f(x)=ax^2- 4ax + 3a.$
Absis titik puncak $f(x)$ adalah
$\begin{aligned} x_p & =-\dfrac{\text{Koef.}~x}{2 \cdot \text{Koef.}~x^2} \\ & =-\dfrac{-4a}{2a} = 2. \end{aligned}$
Ini berarti, grafik $f(x)$ memiliki titik puncak di $(2, 1)$ (karena nilai maksimumnya 1).
Sekarang, substitusikan $x=2$ dan $f(x)=y=1$ pada $f(x)=a(x-1)(x-3)$ sehingga
$$\begin{aligned} 1 & = a(2-1)(2-3) \\ \Leftrightarrow 1 & = a(1)(-1) \\ \Leftrightarrow a & =-1. \end{aligned}$$Substitusi $a=-1$ pada $f(x)=a(x-1)(x-3)$ sehingga
$\boxed{\begin{aligned} f(x) & =-1(x-1)(x-3) \\ & =-x^2 + 4x-3 \end{aligned}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Karena puncak parabola yang berkoordinat $(4, y_p)$ berada di garis $x-y+4=0,$ maka substitusi $x = 4$ menghasilkan $4-y+4=0 \Leftrightarrow y = 8.$
Kita peroleh bahwa parabola itu memiliki titik puncak di $(4, 8)$ dan melalui titik $(0, 0).$ Fungsi kuadrat yang memiliki titik puncak di $(x_p, y_p)$ dan melalui titik $(x, y)$ dirumuskan oleh
$\boxed{y-y_p = a(x-x_p)^2}$
Dengan demikian, substitusi $x_p = 4, y_p = 8, x = 0, y = 0$ menghasilkan
$\begin{aligned} 0- 8 & = a(0-4)^2 \\-8 & = a(-4)^2 \\-8 & = 16a \\ a &=-\dfrac12. \end{aligned}$
Substitusi $a =-\dfrac12, x_p = 4, y_p=8$ menghasilkan
$\begin{aligned} y-8 & =-\dfrac12(x-4)^2 \\ y & =-\dfrac12(x^2-8x+16)+8 \\ y & =-\dfrac12x^2+4x-8+8 \\ y & =-\dfrac12x^2+4x. \end{aligned}$
Jadi, persamaan parabola itu adalah $\boxed{f(x)=y =-\dfrac12x^2+4x}$
(Jawaban E)

[collapse]

Persamaan sumbu simetri parabola itu adalah $x =-\dfrac{b}{2a}.$
Jarak mendatar titik $P(x_0, y_0)$ ke sumbu simetri $x =-\dfrac{b}{2a}$ adalah $-\dfrac{b}{2a}-x_0.$
Karena $Q$ terletak simetris dengan $P$, maka jarak mendatarnya terhadap sumbu simetri $x =-\dfrac{b}{2a}$ juga sama sehingga absisnya adalah
$\begin{aligned}-\dfrac{b}{2a} + \left(-\dfrac{b}{2a}-x_0\right) & =-\dfrac{2b}{2a}-x_0 \\ & =-\dfrac{b}{a}-x_0. \end{aligned}$
Jadi, absis titik $x_0$ adalah $\boxed{- \frac{b}{a}-x_0}$
(Jawaban C)

[collapse]

Agar $T$ berjarak sama dengan titik $A$ dan $B$, maka $T$ harus terletak pada sumbu simetri parabola tersebut.
Persamaan sumbu simetri parabola $f(x)=2x^2-6x-5$ adalah
$x_p =-\dfrac{b}{2a} =-\dfrac{-6}{2(2)} = \dfrac32.$
Jadi, nilai $k$ adalah $\boxed{\dfrac32}$
(Jawaban B)

[collapse]

Diberikan persamaan:
$2f(x)+f(1-x)=x^2~~~~(\cdots 1)$
Ini juga berarti, berlaku persamaan berikut yang diperoleh dengan cara mengubah $x$ menjadi $1-x$,
$2f(1-x)+f(x) = (1-x)^2~~~(\cdots 2)$
Kedua persamaan di atas membentuk suatu sistem persamaan yang dapat diselesaikan dengan metode substitusi-eliminasi.
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2f(x) + f(1-x) & = x^2 \\ 2f(1-x)+f(x) & = (1-x)^2 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 2 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~4f(x) + 2f(1-x) & = 2x^2 \\ 2f(1-x)+f(x) & = (1-x)^2 \end{aligned} \\ & \rule{5.5 cm}{0.8pt}- \end{aligned}$$Diperoleh
$\begin{aligned} 3f(x) & = 2x^2-(1-x)^2 \\ 3f(x) & = 2x^2-(1-2x + x^2) \\ 3f(x) & = x^2 + 2x-1 \\ f(x) & = \dfrac13x^2 + \dfrac23x-\dfrac13 \end{aligned}$
Jadi, $\boxed{f(x) = \dfrac13x^2 + \dfrac23x-\dfrac13}$
(Jawaban D)

[collapse]

Perhatikan bahwa fungsi kuadrat yang diberikan dapat ditulis sebagai berikut.
$\begin{aligned} y & = (n-1)x^2-(n+1)x + 3-2n \\ & = nx^2-x^2-nx-x+3-2n \\ & = n(x^2-x-2)-(x^2+x-3) \\ & = n(x-2)(x+1)-(x^2+x-3) \end{aligned}$
Untuk $x = 2$ atau $x =-1$, $y$ akan selalu bernilai sama berapapun nilai $n.$ Secara geometris, parabola akan selalu melalui titik yang sama tanpa mempertimbangkan nilai $n$.
Untuk $x = 2$, diperoleh
$y = n(2-2)(2+1)-$ $(2^2+2-3) =-3.$
Parabola melalui titik $(2,-3)$.
Untuk $x =-1$, diperoleh
$y = n(-1-2)(-1+1)-$ $((-1)^2+(-1)-3) = 3.$
Parabola melalui titik $(-1, 3)$.
Dengan demikian, dapat diasumsikan nilai $a=2, b =-3, p =-1, q = 3$ (tidak harus seperti ini) sehingga
$$\boxed{a+b+p+q = 2+(-3)+(-1)+3=1}$$(Operasi penjumlahan bersifat komutatif sehingga hasil akhirnya selalu sama meskipun nilai variabelnya tertukar-tukar)
(Jawaban C)

[collapse]

Garis sumbu simetri dari suatu fungsi kuadrat terletak tepat di tengah-tengah kedua titik potongnya terhadap sumbu $X$, yaitu
$x = \dfrac{a + (a+6)}{2} = \dfrac{2a+6}{2} = a+3.$
Dari gambar, tampak bahwa ordinat titik puncak fungsi berada di atas sumbu $X$, yang artinya nilai ordinatnya harus positif. Ini berarti, koordinat titik puncak grafik fungsi kuadrat yang mungkin adalah $(a+3, 5)$.
(Jawaban C)

[collapse]

Perhatikan bahwa grafik fungsi $f(x)=x^2+bx+c$ berbentuk parabola dan akan memotong sumbu $X$ di dua titik berbeda (memiliki $2$ penyelesaian real berbeda) apabila diskriminannya bernilai lebih dari $0$.
$\begin{aligned} D & > 0 \\ b^2-4ac & > 0 \\ b^2-4(1)(c) & > 0 \\ b^2 & > 4c \end{aligned}$
Karena nilai $b, c$ keduanya diambil dari $\{1,2,3,4,5,6\}$, maka kita dapat mencari banyaknya pasangan $(a, b)$ yang memenuhi pertidaksamaan $b^2 > 4c$ dengan menggunakan bantuan tabel seperti berikut.
$$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Nilai}~b & \text{Nilai}~c & \text{Banyak Pasangan} \\ \hline 1 & – & 0 \\ 2 & – & 0 \\ 3 & 1, 2 & 2 \\ 4 & 1, 2, 3 & 3 \\ 5 & 1, 2, 3, 4, 5, 6 & 6 \\ 6 & 1, 2, 3, 4, 5, 6 & 6 \\ \hline \end{array}$$Jadi, secara keseluruhan ada $\boxed{2+3+6+6=17}$ pasangan nilai $(a, b)$ yang memenuhi kondisi tersebut.
(Jawaban C)

[collapse]

Grafik fungsi $f$ berupa parabola yang terbuka ke atas (karena memiliki nilai minimum). Grafik menunjukkan bahwa $f(x) > 0$ untuk setiap $x \in$ bilangan real, dengan nilai minimum $f(x)$ adalah $10.$ Grafik juga tidak akan memotong sumbu $X$ (secara geometris), atau diskriminannya bernilai negatif, yakni $b^2 < 4ac$ (secara aljabar).
Jadi, pernyataan yang benar adalah $f(x) > 0$ untuk setiap $x \in$ bilangan real.
(Jawaban B)

[collapse]

Karena parabola memotong sumbu $X$ di $x = p$ dan $x = 2p,$ maka dapat kita katakan bahwa akar-akar fungsi kuadrat itu adalah $x_1 = p$ atau $x_2 = 2p.$
Jumlah akar:
$$\begin{aligned} x_1 + x_2 & = -\dfrac{b}{a} \\ p + 2p & = -\dfrac{b}{a} \\ -b & = 3pa \end{aligned}$$Hasil kali akar:
$$\begin{aligned} x_1x_2 & = \dfrac{c}{a} \\ p(2p) & = \dfrac{c}{a} \\ c & = 2p^2a \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} c-b & > 0 \\ 2p^2a+3pa & > 0 \\ 2p^2+3p & > 0 && (\text{Bagi}~a~\text{pada kedua ruas}, a > 0) \\ p(2p + 3) & > 0 && (\text{Difaktorkan}) \\ p < -\dfrac32~\text{atau}~p & > 0 \end{aligned}$$Jadi, nilai $c-b>0$ terpenuhi apabila $\boxed{p < -\dfrac32~\text{atau}~p > 0}$
(Jawaban E)

[collapse]

Diketahui $f(x)=x^2+6x+5$ berarti $a = 1$, $b = 6$, dan $c = 5$.
Jawaban a)
$\begin{aligned} f(x) & = 0 \\ x^2+6x+5 & = 0 \\ (x+5)(x+1) & = 0 \\ x+5=0~\text{atau}~x+1 & = 0 \\ x=-5~\text{atau}~x&=-1 \end{aligned}$
pembuat nol $f(x)$ adalah $x=-5$ atau $x=-1$.
Jawaban b)
Saat grafik fungsi memotong sumbu $Y$, nilai $x$ adalah $0$.
$\begin{aligned} f(x) & = x^2+6x+5 \\ \Rightarrow f(0) = y & = (0)^2+6(0)+5 = 5 \end{aligned}$
Jadi, koordinat titik potongnya adalah $(0, 5)$.
Jawaban c)
Persamaan sumbu simetri ditentukan oleh rumus $x = -\dfrac{b}{2a}$.
$x = -\dfrac{6}{2 \cdot 1} = -3$
Jadi, persamaan sumbu simetrinya adalah $\boxed{x=-3}$
Jawaban d)
Nilai optimum ada $2$ jenis, yaitu nilai maksimum atau nilai minimum. Diketahui $f(x)=x^2+6x+5$ (koefisien $x^2$ positif), maka ini berarti parabola terbuka ke atas (seperti huruf U) sehingga memiliki nilai minimum.
Nilai minimum bisa ditentukan dengan $2$ cara, yaitu dengan menghitung $f(-3)$ (dari persamaan sumbu simetrinya) atau menggunakan rumus $y_p = -\dfrac{D}{4a} = -\dfrac{b^2-4ac}{4a}$.
Cara Pertama:
$\begin{aligned} f(-3) & = (-3)^2+6(-3)+5 \\ & = 9-18+5 = -4 \end{aligned}$
Cara Kedua:
$\begin{aligned} y_p & = -\dfrac{b^2-4ac}{4a} \\ & = -\dfrac{(6)^2-4(1)(5)}{4(1)} \\ & = -\dfrac{16}{4} = -4 \end{aligned}$
Jadi, nilai optimum (minimum) fungsi adalah $\boxed{-4}$
Jawaban e)
Berdasarkan jawaban c dan d, kita peroleh bahwa koordinat titik balik fungsi adalah $(-3, -4)$.

[collapse]

Langkah 1:
Menentukan koordinat titik potong terhadap sumbu $X$ ($y = 0$).
$\begin{aligned} y & = 0 \\ x^2+2x-3 & = 0 \\ (x+3)(x-1) & = 0 \\ x+3 = 0~\text{atau}~x-1 & = 0 \\ x = -3~\text{atau}~x & = 1 \end{aligned}$
Diperoleh koordinat titik potong terhadap sumbu $X$, yaitu $(-3, 0)$ dan $(1, 0)$.
Langkah 2:
Menentukan koordinat titik potong terhadap sumbu $Y$ ($x = 0$).
$\begin{aligned} y & = (0)^2 + 2(0)-3 \\ & = 0+0-3 = -3 \end{aligned}$
Diperoleh koordinat titik potong terhadap sumbu $Y$, yaitu $(0, -3)$.
Langkah 3:
Menentukan koordinat titik puncak $(x_p, y_p)$.
Karena $f(x)=x^2+2x-3$, maka ini berarti $a=1$, $b=2$, dan $c=-3$ sehingga
$x_p = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{2}{2(1)} = -1$
$\begin{aligned} y_p & = (-1)^2+2(-1)-3 \\ & = 1-2-3 = -4 \end{aligned}$
Diperoleh koordinat titik puncaknya, yaitu $(-1, -4)$.
Perhatikan bahwa $a = 1 > 0$, artinya grafik fungsi kuadrat berupa parabola yang terbuka ke atas (seperti huruf U) dan titik baliknya merupakan titik balik minimum.
Grafiknya kita plot sebagai berikut.

[collapse]

Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu $X$ di dua titik, yaitu $(2, 0)$ dan $(-3, 0)$ sehingga rumusnya adalah $y = a(x-2)(x+3)$.
Grafik melalui $(4, -28)$, berarti
$\begin{aligned} y & = a(x-2)(x+3) \\ \Rightarrow -28 & = a(4-2)(4+3) \\ -28 & = a(2)(7) \\ a & = -\dfrac{28}{14} = -2 \end{aligned}$
Rumus fungsi kuadratnya menjadi
$\begin{aligned} y & = -2(x-2)(x+3) \\ & = -2(x^2+x-6) \\ & = -2x^2-2x+12 \end{aligned}$
Jadi, rumus fungsi kuadrat yang dimaksud adalah $\boxed{y = -2x^2-2x+12}$

[collapse]

Rumus umum fungsi kuadrat adalah $y = f(x)=ax^2+bx+c$.
Karena grafik melalui $(1, -5)$, kita peroleh
$\begin{aligned} -5 & = a(1)^2 + b(1) + c \\ -5 & = a + b+c \end{aligned}$
Karena grafik melalui $(2,-1)$, kita peroleh
$\begin{aligned} -1 & = a(2)^2 + b(2) + c \\ -1 & = 4a + 2b+c \end{aligned}$
Karena grafik melalui $(-2, 7)$, kita peroleh
$\begin{aligned} 7 & = a(-2)^2 + b(-2) + c \\ 7 & = 4a-2b+c \end{aligned}$
Kita peroleh sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV):
$\begin{cases} a+b+c & = -5 && (\cdots 1) \\ 4a+2b+c & =-1 && (\cdots 2) \\ 4a-2b+c & = 7 && (\cdots 3) \end{cases}$
Eliminasi $a$ dan $c$ pada persamaan $(2)$ dan $(3).$
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 4a+2b+c & = -1 \\ 4a-2b+c & = 7 \end{aligned} \\ \rule{3.3 cm}{0.6pt} – \\ \! \begin{aligned} 4b & = -8 \\ b & = -2 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusi $b = -2$ pada persamaan $(1)$.
$a+\color{red}{(-2)}+c = -5 \Rightarrow a+c = -3.$
Substitusi $b = -2$ pada persamaan $(2)$.
$4a+2\color{red}{(-2)}+c = -1 \Rightarrow 4a+c = 3.$
Eliminasi $c$ pada kedua persamaan baru tersebut.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} a+c & = -3 \\ 4a+c & = 3 \end{aligned} \\ \rule{2.8 cm}{0.6pt} – \\ \! \begin{aligned} -3a & = -6 \\ a & = 2 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusi nilai $a = 2$ pada persamaan $a+c=-3$ sehingga diperoleh $c = -5$.
Jadi, rumus fungsi kuadrat yang dimaksud adalah $\boxed{y = f(x) = 2x^2-2x-5}$

[collapse]

Jawaban a)
Diketahui $f(x) = -10x^2-2x+3$ dengan $D_f = \{x~|-1 \leq x \leq 3, x \in \mathbb{R}\}$.
Grafik berupa parabola yang terbuka ke bawah karena koefisien $x^2$ bernilai negatif.
Persamaan sumbu simetrinya adalah
$x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{(-2)}{2(-10)} = -\dfrac{1}{10}.$
Karena $-1 \leq -\dfrac{1}{10} \leq 3$, maka ini berarti titik baliknya (titik maksimum) berada di interval tersebut.
Substitusi $x = -\dfrac{1}{10}$ pada $f(x) = -10x^2-2x+3$ menghasilkan nilai maksimum fungsi, yaitu
$$\begin{aligned} f\left(-\dfrac{1}{10}\right) & = -10\left(-\dfrac{1}{10}\right)^2-2\left(-\dfrac{1}{10}\right)+3 \\ & = -10 \cdot \dfrac{1}{100}+\dfrac15+3 \\ & = -\dfrac{1}{10}+\dfrac{2}{10}+\dfrac{30}{10} \\ & = \dfrac{31}{10} \end{aligned}$$Jadi, nilai maksimum fungsi itu adalah $y_{\text{maks}} = \dfrac{31}{10}$.
Titik terjauh interval $-1 \leq x \leq 3$ dari persamaan sumbu simetri $x = -\dfrac{1}{10}$ adalah $x = 3$ (titik minimum).
Substitusi $x = 3$ pada rumus fungsi $f(x) = -10x^2-2x+3$.
$\begin{aligned} f(3) & = -10(3)^2-2(3)+3 \\ & = -90-6+3 = -93 \end{aligned}$
Jadi, nilai minimum fungsi itu adalah $y_{\text{min}} = -93$.
Daerah hasilnya dibatasi oleh nilai minimum dan maksimum fungsi, yakni $R_f = \left\{y~|-93 \leq y \leq \dfrac{31}{10}, y \in \mathbb{R}\right\}$.
Jawaban b)
Diketahui $f(x)=-3x^2+4x-2$ dengan $D_f = \{x~|-2 \leq x \leq 2, x \in \mathbb{R}\}$.
Grafik berupa parabola yang terbuka ke bawah karena koefisien $x^2$ bernilai negatif.
Persamaan sumbu simetrinya adalah
$x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{4}{2(-3)} = \dfrac{2}{3}.$
Karena $-2 \leq \dfrac23 \leq 2$, maka ini berarti titik baliknya (titik maksimum) berada di interval tersebut.
Substitusi $x = \dfrac23$ pada $f(x)=-3x^2+4x-2$ menghasilkan nilai maksimum fungsi, yaitu
$\begin{aligned} f\left(\dfrac23\right) & = -3\left(\dfrac23\right)^2+4\left(\dfrac23\right)-2 \\ & = -\dfrac43+\dfrac83-\dfrac63 = -\dfrac23 \end{aligned}$
Jadi, nilai maksimum fungsi itu adalah $y_{\text{maks}} = -\dfrac23$.
Titik terjauh interval $-2 \leq x \leq 2$ dari persamaan sumbu simetri $x = \dfrac23$ adalah $x = -2$ (titik minimum).
Substitusi $x = -2$ pada rumus fungsi $f(x)=-3x^2+4x-2$.
$\begin{aligned} f(-2) & = -3(-2)^2 + 4(-2)-2 \\ & = -12-8-2 = -22 \end{aligned}$
Jadi, nilai minimum fungsi itu adalah $y_{\text{min}} = -22$.
Daerah hasilnya dibatasi oleh nilai minimum dan maksimum fungsi, yakni $R_f = \left\{y~|-22 \leq y \leq -\dfrac23, y \in \mathbb{R}\right\}$.
Jawaban c)
Diketahui $f(x)=2x^2-7x-15$ dengan $D_f = \{x~|~1 \leq x \leq 5, x \in \mathbb{R}\}$.
Grafik berupa parabola yang terbuka ke atas karena koefisien $x^2$ bernilai positif.
Persamaan sumbu simetrinya adalah
$x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{(-7)}{2(2)} = \dfrac74.$
Karena $1 \leq \dfrac74 \leq 5$, maka ini berarti titik baliknya (titik minimum) berada di interval tersebut.
Substitusi $x = \dfrac74$ pada $f(x)=2x^2-7x-15$ menghasilkan nilai minimum fungsi, yaitu
$\begin{aligned} f\left(\dfrac74\right) & = 2\left(\dfrac74\right)^2-7\left(\dfrac74\right)-15 \\ & = \dfrac{49}{8}-\dfrac{98}{8}-\dfrac{120}{8} \\ & = -\dfrac{169}{8} \end{aligned}$
Jadi, nilai minimum fungsi itu adalah $y_{\text{min}} = -\dfrac{169}{8}$.
Titik terjauh interval $1 \leq x \leq 5$ dari persamaan sumbu simetri $x = \dfrac74$ adalah $x = 5$ (titik maksimum).
Substitusi $x = 5$ pada rumus fungsi $f(x)=2x^2-7x-15$.
$\begin{aligned} f(5) & = 2(5)^2-7(5)-15 \\ & = 50-35-15 = 0 \end{aligned}$
Jadi, nilai maksimum fungsi itu adalah $y_{\text{maks}} = 0$.
Daerah hasilnya dibatasi oleh nilai minimum dan maksimum fungsi, yakni $R_f = \left\{y~|-\dfrac{169}{8} \leq y \leq 0, y \in \mathbb{R}\right\}$.

[collapse]

Jawaban a)
Diketahui
$\begin{aligned} f(x) & = x^2-4x-1 \\ & = [(x-2)^2-4]-1 \\ & = (x-2)^2-5 \end{aligned}$
Dari grafik $y = x^2$, kita geser sejauh $2$ satuan searah sumbu $X$, lalu digeser $-5$ satuan searah sumbu $Y$ seperti tampak pada ilustrasi gambar berikut.
Jawaban b)
Diketahui
$\begin{aligned} f(x) & = -x^2+6x-4 \\ & = -(x^2-6x)-4 \\ & = -[(x-3)^2-9]-4 \\ & = -(x-3)^2+5 \end{aligned}$
Dari grafik $y = -x^2$, kita geser sejauh $3$ satuan searah sumbu $X$, lalu digeser $5$ satuan searah sumbu $Y$ seperti tampak pada ilustrasi gambar berikut.

[collapse]

Tidak ada.
Jika ada nilai $x$ yang sama dengan dua nilai fungsi yang berbeda, yaitu $p$ dan $q$, maka $f$ tidak memenuhi kriteria untuk disebut sebagai fungsi. Setiap anggota domain harus memiliki tepat satu pasangan terhadap anggota kodomain agar bisa disebut sebagai fungsi.

[collapse]

Tidak mungkin.
Grafik fungsi linear berupa garis lurus, sedangkan grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola. Parabola memiliki sumbu simetri karena kurva kiri kanannya sama bila dicerminkan. Untuk itu, titik potong yang dapat terjadi antara kedua grafik fungsi tersebut hanya ada $2$ seperti tampak pada sketsa gambar berikut.

[collapse]

Tidak mungkin. Kurva parabola (grafik fungsi kuadrat) paling banyak memiliki $2$ titik potong saja. Perhatikan sketsa gambar berikut untuk lebih jelasnya.

[collapse]

Misalkan persegi tersebut memiliki titik sudut $A, B, C,$ dan $D.$ Misalkan juga $B(a, 0)$, maka ordinat dari titik $C$ adalah $y = 15-a^2.$
Mengingat $ABCD$ adalah persegi dan $B(a, 0),$ maka $y = AB = 2a$ sehingga didapat
$\begin{aligned} 15-a^2 & = 2a \\ a^2+2a-15 & = 0 \\ (a+5)(a-3) & = 0 \\ a = -5~\text{atau}~a & = 3. \end{aligned}$
Nilai $a=-5$ tidak memenuhi karena negatif. Jadi, diambil $a = 3,$ berarti panjang sisi perseginya $y = 2a = 2(3) = 6.$ Dengan demikian, luas persegi tersebut adalah $\boxed{6 \times 6 = 36}$ satuan luas.

[collapse]

Misalkan $f(x) = x² + px + q$ memiliki akar-akar $a$ dan $2a.$
Hasil kali akarnya memenuhi
$$\begin{aligned} a \cdot 2a & = q \\ 2a^2 & = q && (\cdots 1) \end{aligned}$$Selanjutnya, $g(x) = x² + qx + r$ memiliki akar-akar $2a$ dan $4a.$
Jumlah akarnya memenuhi
$$\begin{aligned} 2a + 4a & = -q \\ -6a & = q && (\cdots 2) \end{aligned}$$Dari kedua persamaan di atas, kita peroleh
$$\begin{aligned} -6a & = 2a² \\ 2a^2 + 6a & = 0 \\ 2a(a + 6) & = 0 \\ a = 0~\text{atau}~a & = -6 \end{aligned}$$Karena $p, q, r \neq 0$, maka nilai $a = 0$ tidak memenuhi. Jadi, dipilih $a = -6.$
Dengan demikian, akar-akar $f(x)=x^2+px+q$ adalah $-6$ atau $-12$, sedangkan akar-akar $g(x)=x^2+qx+r$ adalah $-12$ atau $-24$.

[collapse]

Perhatikan bahwa sifat $f(x) \le 0$ menunjukkan bahwa puncak grafik fungsi kuadrat tersebut adalah di $y = 0.$ Karena $f(3) = 0,$ maka titik puncaknya di $(3, 0).$ Fungsi kuadrat yang memenuhi kondisi ini dinyatakan sebagai berikut.
$$\begin{aligned} f(x) & = a(x-3)^2 \\ \text{Diketahui}~f(1) & = -8 \Rightarrow (x, y) = (1, -8) \\ f(1) & = a(1-3)^2 \\ -8 & = a(-2)^2 \\ a & = -2 \end{aligned}$$Jadi, rumus fungsi kuadratnya adalah $f(x) = -2(x-3)^2.$ Dengan demikian, nilai dari $f(2)+f(6)$ dapat kita hitung dengan menyubstitusi nilai $x.$
$$\begin{aligned} f(2)+f(6) & = -2(2-3)^2+(-2)(6-3)^2 \\ & = -2(-1)^2+(-2)(3)^2 \\ & = -2-18 = -20 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{f(2)+f(6) = -20}$

[collapse]